今天來寫點選擇權-特別是外匯選擇權-的delta觀念，delta對market maker來說非常重要，是greeks (選擇權希臘字母)的一環。還記得之前在他行交易室實習時前輩直接跟我講結論，但當時一直沒搞懂。
Delta，他代表現貨價格每變動一單位對選擇權價值的影響，而根據Black-Scholes 的定價公式，對call來說:
\[v = S_{t}N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau} - KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}\]其中，$S$ 為現貨價格、$N(d1)、N(d2)$ 為機率密度函數、$r_{d}、r_{f}$ 分別代表本國 (Domestic, DOM) 與外國 (Foreign，FOR) 利率、 $K$ 為選擇權執行價、$\tau$ 為選擇權剩餘時間。
由於delta代表現貨價格變動一單位對選擇權價格的影響，故其值其實就是: $\frac{\partial_{v}}{\partial_{S}}$，即:
$\frac{\partial{S_{t}N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau} - KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}}}{\partial_{S}} = N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau}$。
這個值就是外匯選擇權中最基礎的delta定義 (Premium-Unadjusted Spot Detla)，不過由於選擇權的買賣牽涉到權利金 (premium)的收付，假設我們是market maker，且假設我賣給客戶一個USDcJPYp，則我持有一個short USDJPY的風險，做delta neutral就是要buy USDJPY (下篇文章再探討買入spot與買入forward有何差異)，理論上要買的spot金額即: $N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau}$ 乘以名目本金 (就是上面推導的結果)。
不過由於我們賣出選擇權，故會收權利金，金額為 $v = S_{t}N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau} - KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}$，此為 JPY 的金額，需將其轉為 USD 等值金額 (因為一開始的 Premium-Unadjusted Spot Detla 為USD金額)， 因此我們可以得到 (也就是少做): $\frac{v}{S_{t}} = \frac{S_{t}N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau} - KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}}{S_{t}} = N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau}-\frac{KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}}{S_{t}}$， 這麼多USD的避險
組合起來的 Premium-Adjusted Spot Detla 即:
\[N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau}-({N(d_{1})\times e^{-r_{f}\tau}-\frac{KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}}{S_{t}}}) = \frac{KN(d_{2}) \times e^{-r_{d}\tau}}{S_{t}}\]下回再來介紹如何使用foward計算外匯選擇權的delta!