程式碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
def dataCollect(twd):
twd.Taiwan_Date = twd.Taiwan_Date.apply(lambda _: dt.datetime.strptime(_, "%Y/%m/%d"))
twd.index = twd.Taiwan_Date
del twd['Taiwan_Date']
# convert datetime string to the week of the day
twd['Weekday'] = twd.index.strftime('%a')
twd = twd[ (twd.index > dt.datetime(2009, 2, 28)) & (twd.index < dt.datetime(2022, 12, 31)) ]
twd = twd.rename(columns={"Taiwan_CCY": "TWD"})
twd = twd[ ['Weekday', 'TWD']] # only need weeday and spot data
return twd
def calReturn(twd):
# use previous day's data and today's data to calculate daily return of USDTWD
twd['TWD_prev'] = twd['TWD'].shift(1)
twd.dropna(inplace=True)
twd['Daily_ret'] = np.log(twd['TWD']/twd['TWD_prev']) * 100
twd = twd[ twd['Daily_ret'] != 0]
return twd
# basic statistics
def descriptiveStat(twd):
statDict = {}
statDict['Max'] = twd.TWD.max()
statDict['MaxPriceDate'] = twd.loc[twd.TWD == twd.TWD.max()].index[0] # get the date when UDSTWD is the highest
statDict['Min'] = twd.TWD.min()
statDict['MinPriceDate'] = twd.loc[twd.TWD == twd.TWD.min()].index[0] # get the date when UDSTWD is the lowest
statDict['Median'] = twd.TWD.median()
statDict['Mean'] = twd.TWD.mean()
statDict['Std'] = twd.TWD.std()
print('The descriptive Statistics of the sample: ')
return statDict
# calculate higher moments of each workday
def calHighMoments(twd):
weekdays = ['Mon', 'Tue', 'Wed', 'Thu', 'Fri']
stat_df = pd.DataFrame(columns=weekdays)
for i in weekdays:
tmpDict = {} # tmp dictionary to store data
tmpDf = twd[twd.Weekday == i] # filter each workday
n = tmpDf.shape[0] # this is the sample size
tmpMean = tmpDf.Daily_ret.mean() # mean of each workday
tmpStd = tmpDf.Daily_ret.std() # standard deviation of each workday
for j in tmpDf.Daily_ret: # there is a summation in the formula of Skewness and Kurtosis
power3 = np.float64(0.) # summation for skewness
power4 = np.float64(0.) # summation for kurtosis
power3 = power3 + ( ((j - tmpMean)**3)/(tmpStd**3) )
power4 = power4 + ((j - tmpMean)**4)
# formulas for skewness and kurtosis
tmpSk = (n/(n-1)/(n-2)) * power3
tmpKur = power4 / (n-1) / (tmpStd)**4
tmpDict['Mean'] = tmpMean
tmpDict['Std'] = tmpStd
tmpDict['Sk'] = tmpSk
tmpDict['Kur'] = tmpKur
stat_df[i] = pd.Series(tmpDict, index=['Mean', 'Std', 'Sk', 'Kur'])
print('Higher moment statistics of the sample: ')
return stat_df
# plot the time series data of USDTWD data
def plotTS(twd):
plt.plot(twd.TWD)
plt.title("2009.03 to 2022.12 USDTWD Mid Price")
plt.xlabel("Year")
plt.ylabel("USDTWD")
plt.show()
plt.close() # close the figure
# plot the histogram of each workday's daily return
def plotHist(twd, style):
if style == 'together': # plot the histogram together
# 分 30 個箱子 (bins=30)
twd.groupby('Weekday')['Daily_ret'].hist(bins=30, legend=True)
# change the legend order to: Mon, Tue, Wed...
handles, labels = plt.gca().get_legend_handles_labels()
order = [1, 3, 4, 2, 0]
plt.legend([handles[i] for i in order], [labels[i] for i in order])
plt.xlabel("%")
plt.ylabel("Count")
plt.title("Daily Return Histogram")
plt.show()
plt.close()
if style == 'seperate': # plot each workday's daily return histogram in different plot
g = twd.groupby('Weekday')['Daily_ret']
fig, axes = plt.subplots(g.ngroups, sharex=True, figsize=(15, 15))
for i, (wd, d) in enumerate(g):
ax = d.plot.hist(x='%', y='Count', ax=axes[i], title=wd, bins=100)
ax.axvline(d.mean(), c='r', linestyle='--', linewidth=2) # denote the mean in RED line
ax.axvline(d.median(), c='y', linestyle='--', linewidth=1) # denote the median in YELLOW line
ax.set_xlabel('%')
ax.legend().remove()
fig.tight_layout()
plt.show()
plt.close()
def checkDist(twd):
g = twd.groupby('Weekday')['Daily_ret'].apply(stats.kstest, cdf='norm')
print('The t-statistics (first value) and the p-value (second value) of the sample: ')
return g
def testWeekdaySign(twd, wd):
testRes = {}
weekdays = ['Mon', 'Tue', 'Wed', 'Thu', 'Fri']
firstSample = twd[twd.Weekday == wd]['Daily_ret'] # get first sample and we will compare it with four other workdays
for i in weekdays:
if i == wd: # if we get the first sample, we should ignore it
continue
secondSample = twd[twd.Weekday == i]['Daily_ret']
testRes[i] = stats.ks_2samp(firstSample, secondSample)[1] # Kolmogorov-Smirnov test
return testRes
def __init__():
# read the data and rearrange by date
twd = pd.read_csv('twdSpot.csv').dropna().iloc[::-1]
twd = dataCollect(twd)
twd = calReturn(twd)
print('Complete dataframe: ')
print(twd)
print('')
print(descriptiveStat(twd))
print('')
# plot the USDTWD time series
plotTS(twd)
print('')
# calculate skewness and kurtosis and plot them
print(calHighMoments(twd))
plotHist(twd, 'together')
plotHist(twd, 'seperate')
print('')
# check if the whole sample comes from normal distribution
print(checkDist(twd))
print('')
# check if each workday comes from the same distribution of other workday
print('The p-value of whether the two samples come from the same distribution: ')
print(testWeekdaySign(twd, 'Mon'))
print(testWeekdaySign(twd, 'Tue'))
print(testWeekdaySign(twd, 'Wed'))
print(testWeekdaySign(twd, 'Thu'))
print(testWeekdaySign(twd, 'Fri'))
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import datetime as dt
import scipy
from scipy import stats
__init__()
摘要
本文主要探討台幣外匯市場之每日報酬是否可被星期因素 (day-of-the-week effect)，實證結果各工作日 (星期一至星期五)與其他工作日差異不明顯，未能有足夠信心拒絕「兩樣本來自相同分配」的虛無假設。這與本文參考的論文結果不一致，一個可能是本文使用的是美國開啟量化寬鬆 (Quantitative easing)後之匯率資料，故市場對貨幣價值的評價不同，進而導致在現代匯率市場中星期因素不明顯。
一、前言
在證券市場中，星期因素 (day-of-the-week effect)被許多學者研究，該理論指出，投資者在星期五買入證券所獲得的報酬高於在星期一買入，原因是證券市場的交割日 (Settlement Date)制度。以台灣為例，買入證券當稱為交易日 (Trade Day)，但交割買入證券的日期是在交易日的兩天後 (Settlement Date)，由於周末兩天為休假日，故在星期五買入證券時，需要等到下周二才能交割，投資者有多餘兩天將交割款項用於其他市場，例如: 隔夜拆款市場，賺取較高的報酬。
星期因素不僅出現在證券市場，在交易量更為龐大的外匯市場也曾出現，McFarland, Pettit, and Sung (1982)發現對美國投資者來說，在星期一與星期三投資外幣的報酬較高、星期四與星期五的報酬則偏低，Gordon Tang (1998)提出假設，認為即使是同一貨幣對，在不同個工作天 (weekday)的每日報酬並非來自同樣的分配，本文即使用 USDTWD 數據檢驗。
二、資料處理
本篇報告使用路透 (Reuters)提供的 USDTWD 每日即期收盤價，並使用中價，資料區間為 1990 年三月至 2022 年十二月。報酬率的定義為 $ln(P_t-P_{t-1} )-1$，其中 $P_t$ 為當日收盤中價、 $P_{t-1}$ 為前一交易日收盤中價。圖一為資料區間內 USDTWD 歷史走勢，可以看到在此期間 USDTWD 在 27.5 至 35.5 之間波動，最高價位 35.168 出現在 2009 年 3 月 3 日，為台幣區間低點，最低價位 27.554 則出現在 2022 年 1 月 18 日，當時在 Fed 持續放出鴿派訊息表明不升息下讓台幣大漲。整個區間 USDTWD 平均匯價為 30.426，標準差為 1.393，敘述型統計資料整理如下表一。
表一
| USDTWD | 值 | 日期 |
|---|---|---|
| 最大值 (台幣相對美元最弱) | 35.168 | 2009-03-03 |
| 最小值 (台幣相對美元最強) | 27.554 | 2022-01-18 |
| 中位數 | 30.241 | |
| 平均數 | 30.426 | |
| 標準差 | 1.393 |
圖一
三、實證結果
圖二則為星期一至星期五每日報酬的直方圖，可以看到多數的日報酬介於 -1% 至 1% 區間，極端值也在 -2% 至 1.5% 之內。
圖二
表二為依照星期區分的統計值，除了一般的均值及標準差外，另外加入三階動差-偏態 (skewness)與四階動差-峰態 (Kurtosis)。偏態讓我們得以檢測資料分布是否偏向某一方，其公式為:
\[Skewness= \frac{n}{(n-1)(n-2)}×∑_{i=1}^n\frac{(x_i-\bar x)^3}{s^3}\]其中 $n$ 為資料個數、$x$ 為 USDTWD 每日報酬、$\bar x$ 為資料區間內 USDTWD 每日報酬的平均值、$s$ 為資料區間內 USDTWD 每日報酬的標準差。通常我們認為只要偏態值不等於 0，即視為有偏態傾向，若資料的平均數大於中位數，則資料為右偏 (right-skewed)，反之，若資料的平均數小於中位數，則資料為左偏 (right-skewed)。
峰態用來衡量手中資料與常態分布相比是較為高峻或是平坦，通常認為若峰態不等於 0 即視為有偏態，大於 0 代表手中資料較常態分配來的高瘦、小於 0 代表較常態分配來的低寬。峰態的公式如下:
\[Kurtosis=\frac{1}{(n-1)×s^4}×∑_{i=1}^n(x_i-\bar x)^4\]表二
| 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 平均數 | -0.013742 | 0.017944 | 0.001231 | -0.008164 | -0.015501 |
| 標準差 | 0.257144 | 0.291845 | 0.225287 | 0.235711 | 0.280908 |
| 偏態 | 0.000961 | -0.000045 | 0.000003 | 0.000423 | -0.000005 |
| 峰態 | 0.000840 | 0.000014 | 0.000000 | 0.000282 | 0.000000 |
由表二可以看出，星期一的平均報酬率最大，平均報酬接近 2%，報酬最低者為星期五，平均報酬為 -1.5%。報酬標準差則大致相同，不管在哪一天交易，投資者均面對約 22 至 29% 的波動。偏態與峰態則不明顯，但大致來說，USDTWD 各工作的報酬較標準常態分佈高瘦 (峰態不小於 0)。圖三顯示各工作日的歷史報酬分布，紅色虛線為報酬平均數、黃色虛線為報酬中位數，兩者在各工作日中幾乎相同，顯示資料區間內的偏度不明顯。
圖三
然而，有必要對資料分布做更精確的檢定，在此使用 Kolmogorov-Smirnov 檢定來檢測各工作日報酬的分布是否符合常態分布，Kolmogorov-Smirnov 檢定是一種無母數檢定法 (Non-parametric test)，用於不確定樣本是何種分配的情況。將每個工作日的每日報酬作為一個樣本，並依序檢驗其與其他工作日樣本是否來自同樣的母體分配，若 p-value 小於 0.05，則拒絕雙尾檢定的虛無假設: 「兩樣本來自相同母體分配」，表四為各工作日對其他工作日之 Kolmogorov-Smirnov 檢定的 p 值，粗體表示在 5 % 的信心水準下無法被拒絕的情況。
由表四可以看到，除了同工作日與同工作日無須檢定外，均無足夠信心拒絕「兩樣本來自相同分配」的虛無假設，顯示星期一與星期五對其他工作日基本上來自相同分配，這與 Gordon Tang 的檢驗結果不一致。
表四
參考文獻
Gordon Tang, 1998. “Weekly Pattern of Exchange Rate Risks: Evidence from Ten Asian-Pacific Currencies,” Asia-Pacific Financial Markets, Springer;Japanese Association of Financial Economics and Engineering, vol. 5(3), pages 261-274, November.
McFarland, J., Pettit, R., and Sung, S. (1982), The distribution of foreign exchange price changes: Trading day effects and risk measurement, J. Finance 37, 693–715.